Page 502 - Capire la matematica

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2 specie: se non esiste almeno uno dei due limiti o almeno uno è infinito;

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3 specie: se esiste finito il limite della funzione ma non esiste f(x0).

Studio del Segno

Si tratta di stabilire per quali valori di x del dominio risulta f(x) < 0, f(x) = 0 o f(x) > 0.

Il grafico di y = f(x): è al di sopra dell’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f(x) >

0 (funzione positiva); incontra l’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f(x) si an-
nulla, cioè f(x) = 0; (questi valori identificano gli zeri della funzione); è al di sotto dell’asse
x in corrispondenza dei valori di x per cui f(x) < 0; (funzione negativa).

Le Derivate

Per un’analisi locale più dettagliata della funzione f intorno ad un punto x0, è necessario

introdurre le nozioni di differenziale e di derivata.

Definizione. Data la funzione y = f(x). la derivata di f(x) nel punto x è definita da

( + ∆) − ()
lim
∆→0 ∆

Se tale limite esiste, e si indica con f’(x) o dy/dx.

Lo studio della derivata prima della funzione ha estrema importanza perché ci permette
di determinare molte caratteristiche.

I punti che annullano la derivata prima, determinano i punti di max e di min, inoltre se

f’(x) > 0 la funzione è crescente, mentre se f(x)’ < 0, la funzione è decrescente.

Se la funzione è crescente a sinistra di x0 e decrescente a destra di x0, x0 è un punto di
max, viceversa è un punto di min.

Se alcuni punti del C.E di f(x) non appartengono al C.E. di f’(x). Allora se esistono i limiti
destro e sinistro del rapporto incrementale, ma sono diversi tra loro, abbiamo un punto
angoloso, se invece sono infiniti, la curva presenta nel punto dato una cuspide.

Lo studio della derivata seconda ci fornisce indicazioni in relazione ai punti di flesso e
alla concavità della funzione.

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