Page 495 - Capire la matematica

Studio di Funzioni

Le funzioni possono essere suddivise in razionali intere, razionali fratte, irrazionali, cir-
colari, circolari inverse, iperbole, esponenziali, logaritmiche e composte.

Il C.E. delle razionali intere è tutto R, mentre nelle razionali fratte vanno tolti i punti in
cui si annulla il denominatore; nelle funzioni irrazionali se n è dispari il C.E è tutto R al-

trimenti per se n è pari, il radicando deve essere ≥ 0; nelle funzione periodiche il C.E. è
illimitato, ma la funzione può essere studiata solo nel periodo; le funzioni circolari ele-
mentari come sin x e cosx sono definite in tutto R, mentre a tgx, cotgx, secx e cosecx

vanno tolti i valori che le rendono indeterminate: per tg x e sec x questo valore è + kπ
2
mentre per cotgx e cosecx il valore è 2kπ + T; per le funzioni trigonometriche non ele-
mentari vediamo questo esempio per capire meglio: la funzione cos 3x: poniamo 3x =
2
2π da cui x = π mentre per cos si ha = 2π da cui x = 4π.
3 2 2
Questi sono i rispettivi periodi; la funzione modulo di sinx e cosx, dimezza il periodo a π

mentre per tag x e cotg x rimane inalterato 2π; nelle potenze di sin2x o sin3x, se l’espo-
nente è pari il periodo si dimezza a π, mentre se è dispari rimane 2π; nelle radici enne-
sime di tg x non cambia il periodo.

Quando ci sono somme o differenze di funzioni trigonometriche si calcola il m.c.m. dei
periodi delle funzioni.

Vediamo anche qui un esempio: consideriamo la funzione

y = sin 2x + sin → T = 4π.
2

Nel prodotto o nel rapporto tra funzioni trigonometriche , si ha che, se hanno lo

stesso periodo, questo si dimezza, se hanno periodo diverso, invece si calcola il m.c.m.

Il C.E delle funzioni circolari è 2π, ma nel rapporto si devono eliminare i punti in cui si
annulla il denominatore facendo variare k; nelle funzioni esponenziali, come ad esempio

x
a , a deve essere sempre > 0; il C.E. è R, mentre nelle funzioni composte si mette a si-
2
+ 6 + 5 > 0
stema. Vediamo un esempio: { => . . = [−1,2]; le funzioni inverse
2
4 − ≥ 0
arcsinx e arccosx hanno C.E. in -1 ≤ x ≤ 1, arctgx e arcotgx in R, arcsec e arccosec in (-
∞ < ≤ −1) e (1 ≤ ≤ ∞); le funzioni logaritmiche in (0, ∞).

***

Lo studio di una funzione è finalizzato alla sua rappresentazione grafica.

Il procedimento da seguire per tracciare il grafico è:

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