Page 420 - Capire la matematica

Lo scopo dell’eliminazione di Gauss è cercare di ottenere la matrice identità nella parte
evidenziata. In questo modo la soluzione si ottiene automaticamente.

Per determinare la matrice inversa occorre introdurre la nozione di matrice aggiunta.
Definizione: Si chiama matrice aggiunta la trasposta della matrice formata da tutti i com-
-1
plementi algebrici (agg(A)). A = () .
det()
Se la matrice è singolare, cioè det(A)=0, allora la matrice non è invertibile.

Calcolare l’inversa di una matrice A:

1) si sostituisce ogni elemento di A con il suo cofattore;

2) si traspone la matrice ottenuta;

3) si divide ogni elemento per il det(A). es. data la matrice quadrata 3x3 A =
1 −2 5
|3 4 −8|, determiniamo la matrice inversa di A.
6 −2 3

Abbiamo già calcolato il det(A) = -40.

Iniziamo a trovare i Cofattori dei termini: 1, 1 1, 2 1, 3 2, 1 2, 2 2, 3 3, 1 3, 2 3, 3

1 −2 5 1 −2 5
1+1
1+2
1,1 = (-1) |3 4 −8| = 12-16 = -4; 1,2 = (-1) |3 4 −8| = -(9 + 48) = -57;
6 −2 3 6 −2 3
1 −2 5 1 −2 5
1+3
2+1
1,3 = (-1) |3 4 −8| = -6 -24 = -30 ; 2,1 = (-1) |3 4 −8| = -(-6+10) = -4 ;
6 −2 3 6 −2 3
1 −2 5 1 −2 5
2+3
2+2
2,2 = (-1) |3 4 −8| = 3-30 = -27; 2,3 = (-1) |3 4 −8| = -(-2+12) = -10;
6 −2 3 6 −2 3

1 −2 5 1 −2 5
3+2
3+1
3,1 = (-1) |3 4 −8| = 16-20 = -4; 3,2 = (-1) |3 4 −8| = -(-8-15) = 23; 3,3 = (-
6 −2 3 6 −2 3
1 −2 5
3+3
1) |3 4 −8| = 4+6 = 10.
6 −2 3

Ora sostituiamo ogni elemento della matrice con il suo cofattore e avremo la matrice
−4 −57 −30 −4 −4 −4
dei cofattori: |−4 −27 −10|. Adesso trasportando la matrice |−57 −27 23| e
−4 23 10 −30 −10 10

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