Page 332 - Capire la matematica

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Esercizio 2: Determinare le rette tangenti all’iperbole di equazione 9x - 16y = 144 con-
dotte per il punto P(0,4).

L’equazione del fascio di rette di centro P(0,4) è:

y = mx + 4

= + 4 = + 4
Consideriamo il sistema: { → {
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9 − 16 = 144 9 − 16( + 4) = 144.
e poi l’equazione:

Imponendo in quest’ultima equazione ∆ = 0 si ha:

da cui: m1 = -5/4, m2 = 5/4.

Sostituendo si ricavano le rette tangenti:

Fasci di iperbole: Date due iperboli reali di equazioni f(x, y) = 0, g(x, y) = 0 e un parametro

reale k, diciamo fascio di iperboli generato dalle due iperboli, la totalità dei punti del
piano che verificano l’equazione f(x, y) + k ⋅ g(x, y) = 0, nonché l’ellisse g(x, y) = 0. Gli
eventuali punti comuni a tutte le iperboli di un fascio si chiamano punti base del fascio.

In un fascio di iperboli vi sono al più 4 punti base.

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Esercizio: Il fascio di iperboli (x – y – 9) + k ⋅ (x – y –
1) = 0 non ha punti base perché le iperboli generatrici,
come mostrato nel grafico, o come può vedersi risol-
vendo il sistema formato dalle due equazioni delle ge-
neratrici, non hanno punti in comune.

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Il fascio di iperboli (x – y – 4) + k ⋅ (x – y – 8x + 15)
= 0 ha un solo punto base E ≡ (2; 0), perché le iper-
boli generatrici, come mostrato nel grafico, hanno
tale punto in comune, cioè sono un fascio di iperboli

tangenti.

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