Page 183 - Capire la matematica

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c. Determinare la controimmagine di {2} e la controimmagine di {1}, ossia f ({2})
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e f ({1}).
d. Dire se f è iniettiva
e. Dire se f è suriettiva.
Soluzione:

a. È una funzione da A in A dato che ad ogni elemento di A corrisponde uno e un
solo elemento di A.
b. f(3) = 4.

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c. f ({2}) = ∅, f ({1}) = {1, 2, 5}.
d. Non è iniettiva dato che per esempio 1 e 2 hanno la stessa immagine.
e. Non è suriettiva, dato che ci sono elementi (come per esempio 2) che non hanno

nessuna controimmagine, ossia l’immagine di f non coincide con tutto il codomi-
nio.
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Esercizio 4: siano f: → e g: → le applicazioni definite da f(x) = 2x e g(x) = x .
Determinare g°f e f°g.
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Soluzione: f°g(x) = 2x mentre g°f(x) = 4x .
Esercizio 5: Siano f, g e h applicazioni rispettivamente da A a B, da B a C e da C a D.
Si provi che h°(g°f) = (h°g)°F.
Dimostrazione: dobbiamo dimostrare che ∀ ∈ (ℎ°(°))() = ((ℎ°)°)(). In-

fatti (ℎ°(°))() = ℎ((°)()) = ℎ((()) ((ℎ°)°)() = (ℎ°)(()) =
ℎ((())).

Esercizio 6: Quali di queste sono applicazioni suriettive, iniettive, biiettive:

Soluzione: è biiettiva; è iniettiva; è iniettiva; è biiettiva; non è una fun-
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zione in quanto (0) non appartiene ad R +; è biiettiva; è iniettiva.
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Esercizio 7: Dato un insieme X, si consideri la relazione ~ in (X) definita da:
A~ ⟺ ℎ .
a. Dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza e descrivere il quoziente (X)
/ ~.
b. Se X ha n elementi, dire quanti elementi ha (X) /~ .

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