Page 178 - Capire la matematica

Pertanto possiamo procedere verificando se g ed h sono funzioni iniettive, suriettive e

biiettive.
Consideriamo la funzione h e stabiliamo se è iniettiva. Siano a1, a2 ∈ R tali che h(a1) =

h(a2), quindi
da cui risulta che h è iniettiva.

Proviamo la suriettività: sia y ∈ R e si supponga che esista a ∈ R tale che h(a) = y, quindi

Allora h è suriettiva, quindi biiettiva, e pertanto possiamo determinare la sua inversa

Procediamo analogamente per g. Dapprima, stabiliamo se è iniettiva. Siano n1, n2 ∈ Q
tali che g(n1) = g(n2), quindi si ha

cioè la funzione g non è iniettiva (non è possibile escludere il caso n1 = -n2 poiché n1 e n2
sono due numeri razionali e pertanto potrebbero essere negativi). Ciò esclude il caso
che g possa essere biiettiva. Inoltre g non è suriettiva, infatti fissato y ∈ R, si supponga
che esista n ∈ Q tale che g(n) = y, si ha

Ma √ + 2 ∉ ℚ, infatti se y = 3 si avrebbe√ + 2 = √5 che non è un numero razio-
nale. Quindi g non è suriettiva e pertanto non è possibile determinare la sua inversa.
Per quanto riguarda le composizioni g°h e h°g, osserviamo che l’unica ammissibile è la

seconda dato che solo in questo caso il dominio di h coincide con il codominio di g. Per-
tanto si ha

Esercizio 4: Siano date le seguenti leggi

e
Stabilire se sono funzioni, ed in tal caso se sono iniettive, suriettive o biiettive.
-1
-1
Calcolare, ove possibile, le funzioni inverse h e f , e le composizioni h°f e f°h.
Svolgimento: Inizialmente stabiliamo se h e g sono due funzioni. Osserviamo che h, ad
ogni numero naturale x, associa sempre un numero razionale e quindi un numero reale
(x assume valori maggiori o uguali a 0 quindi il denominatore x + 5 è sempre stretta-
mente maggiore di 0).
3
La legge definita da g ad ogni numero reale z associa la sua terza potenza z moltiplicata
per ¼ ottenendo ancora un numero reale, che, sommato a 7, appartiene all’insieme di
arrivo. Ora, possiamo stabilire se h è una funzione iniettiva. Siano x1, x2 ∈ N tali che h(x1)
= h(x2), allora si ha:

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