Page 108 - Capire la matematica

() () () ()
< 0 > 0 ≤ 0 ≥ 0
() () () ()

dove A(x) e B(x) sono due polinomi in x.

Il segno della frazione è positivo se numeratore e denominatore sono concordi, mentre

è negativo se sono discordi.

Nota: Se il numeratore e/o il denominatore della frazione algebrica di cui si vuole stu-
diare il segno sono di grado maggiore al secondo, bisogna anzitutto scomporli in fattori

di grado inferiore.

Se la disequazione frazionaria non si presenta in forma normale, la prima cosa da fare è
quella di utilizzare i principi di equivalenza per ridurla in forma normale.

Dopodiché scomponiamo i polinomi A(x) e B(x) e troviamo il Campo di Esistenza di B(x).
Vediamo se possibile semplificare eventuali fattori in comune. Infine otteniamo, la riso-
luzione della disequazione studiando il segno del numeratore e del denominatore e li

rapportiamo fra loro attraverso la “regola dei segni”.

2−3
Esempio1: Risolvere la seguente disequazione: ≥ 0. Visto che la disequazione si
4−
trova già in una delle forme sopra indicate e che numeratore e denominatore sono irri-

ducibili, passiamo direttamente a determinare il Campo di Esistenza di B(x): 4 – x ≠ 0 →
x ≠ 4. C.E = R\{4}.

Ora svolgiamo lo studio del segno dei fattori:
3
N ≥ 0 → 2x- 3≥ 0 → x ≥ ; D > 0 →
2

-x > -4 → x < 4.

Si ha quindi che la frazione algebrica è maggiore od uguale a zero per valori compresi tra
3 3
compreso e 4 escluso. Quindi, l’insieme delle soluzioni della disequazione è: S = [ ,4).
2 2
***

3
2
−5 +6
Esempio2: Risolvere la seguente disequazione: ≤ 0.
2
−4
La disequazione si trova già in una delle forme sopra indicate, non ci resta che cercare
di scomporre numeratore e denominatore.

2
3
2
Numeratore: − 5 + 6 = ( − 5 + 6) = ( − 2)( − 3).
2
Denominatore: x − 4 = ( − 2)( + 2).
3
2
−5 +6 (−2)(−3) (−3)
La disequazione diventa: = = ≤ 0 C.E = R\{-2,2}.
2
−4 (−2)(+2) +2
- 108 -