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Sviluppo In Serie Di Fourier di una Funzione Periodica
Ci poniamo il problema dello sviluppo in serie di Fourier per funzioni f1: R → R, 2 perio-
diche.
La teoria delle serie di Fourier si dà per funzioni g : R → R T-periodiche, con T > 0 gene-
rico, riconducibili a funzioni f : R → R 2 periodiche, ponendo f(x) = g( ) infatti
2
f(x+2) = g[ ( + 2)] = g( + ) = g( ) = f(x).
2 2 2
Una serie di Fourier è una rappresentazione conveniente di una funzione periodica.
Essa consiste nella somma di termini in seno e coseno.
La formula per una serie di Fourier è la seguente:
f(x) = a0 + ∑ ∞ ( ( 2 ) + ( 2 )).
=1
Nelle applicazioni non potendo fare una somma infinita, useremo una somma parziale:
f(x) ≅ SN = a0 + ∑ ( ( 2 ) + ( 2 )) .
=1
Una delle cose più importanti sulle serie di Fourier è che, anche se stiamo rappresen-
tando f(x) con una serie infinita, con un numero infinito di coefficienti, possiamo calco-
lare i coefficienti an, bn, uno ad uno.
Abbiamo le seguenti formule per determinare i coefficienti:
1 2 2 2 2
a0 = ∫ () an = ∫ () ( ) bn = ∫ () ( ) .
2
2
2
− − −
2 2 2
Se f(x) è dispari, stiamo integrando una funzione dispari (dispari x pari = dispari) tra (-a,
a) che è = 0 quindi se f(x) è dispari → a0 = 0 = an.
2 2
2
Analogamente per bn = ∫ () ( ) .
−
2
Se f(x) è pari stiamo integrando una funzione dispari (pari x dispari = dispari), quindi f(x)
pari → bn = 0.
Funzione pari Funzione dispari Ne pari ne dispari
a0 2 0 1
a0 = ∫ () a0 = ∫ ()
2
2
0 −
2
an 4 2 0 2 2
an= ∫ () ( ) an= ∫ () ( )
2
2
0 −
2
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