Page 626 - Capire la matematica

assi e raggio r =√2 In tal caso, chiaramente, per ottenere cerchi reali occorrerà assu-
mere c positiva.

2
2
Esercizio 3: Consideriamo l’equazione differenziale: y’ = y ossia: = y . Separando le

1 1
variabili si ottiene: = dx, da cui integrando: ∫ = ∫ ovvero - = + ➔ y = -
2 2 +
che rappresenta proprio un’iperbole equilatera avente come centro il punto C = (-c, 0)
e, come asintoti, l’asse x e la retta parallela all’asse y di equazione x = -c.

y
-y
-y
Esercizio 4: Consideriamo l’equazione differenziale: y’- 2xe = 0 ossia: = 2e ➔ e dy

2

y
2
2
y
= 2 x dx ➔∫ = 2 ∫ ➔ e = 2 + = e = x + c ovvero: y = ln|x +c| .
2

Esercizio 5: Consideriamo l’equazione differenziale: y’ tg x = y ossia: = ➔ =

cos
➔∫ = ∫ ➔ ln|y| = ln|sinx|+ln|c| ovvero: y = c sin x (integrale gene-
sin
2 2
rale). Se ora poniamo x = ed y = 2 si trova: c = = = = 4 ➔ c = 4 ossia: y = 4
6 sin sin 1
6 2
sin x (integrale particolare).
2
Esercizio 6: Risolvere la seguente equazione differenziale: y’= -2xy e determinare l’in-
tegrale che verifica la condizione iniziale y(1) = -1. Occorre determinare, in primo luogo,
l’integrale generale, soluzione dell’equazione assegnata.

2
Supposto y ≠ 0, separando le variabili, si ottiene: = 2xy ➔ = -2xdx
2
1 2 1 1
2
➔ ∫ = −2 ∫ => − = − + ➔ =x + c1 ovvero: y(x) = (integrale ge-
2
2 + 1
nerale). Si osservi ora che l’equazione differenziale ha come soluzione particolare anche
y = 0, ottenuta dall’integrale generale come limite per c→ ∞, cioè, come suol dirsi,
dando a c il valore infinito.

Per ottenere l’integrale particolare richiesto, invece, basta determinare il valore di c tale
che y(1) = -1.

1 1
Dall’integrale generale, ponendo x = 1 , segue: -1 = y(1) = = ➔ c1 = - 2 ossia y
2
1 + 1 1+ 1
1
= (integrale particolare).
2
−2
Esercizio 7: Si ricerchi la curva che in ogni punto taglia, sotto angolo costante, la semi-
retta uscente dall’origine degli assi e passante per quel punto.

Chiarito che l’angolo formato da due curve nel punto di intersezione è proprio l’angolo
formato dalle rispettive tangenti nello stesso punto, e detto P(x, y) il punto generico
della curva, si deve imporre che sia costante. = − e quindi tg =

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