Page 367 - Capire la matematica

Strutture Algebriche Fondamentali

Diciamo prodotto cartesiano di due insiemi A e B, che indichiamo con A × B, l’insieme
delle coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B.

Se per esempio A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4}, si ha: A × B = {(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2),

(2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4)}.

Teorema: Se A ha n elementi e B ha m elementi, allora A × B ha n ⋅ m elementi.

Definizione: Diciamo relazione binaria definita su un insieme A e a valori in un insieme

B, una legge di natura qualsiasi che a un elemento di A associa un elemento di B.

Definizione: Diciamo operazione binaria definita su insieme A, una relazione binaria ℜ:
A × A → A.

Definizione: Diciamo che l’operazione *, definita sull’insieme A, gode della proprietà as-
sociativa se vale la seguente uguaglianza:

(a * b) *c = a * (b * c) , ∀ a, b, c ∈ A.

Definizione: Diciamo che l’operazione *, definita sull’insieme A, gode della proprietà
commutativa se vale la seguente uguaglianza:

a * b = b * a, ∀ a, b ∈ A.

Definizione: Diciamo che l’operazione * è distributiva rispetto all’operazione &, en-

trambe definite sull’insieme A, se vale la seguente uguaglianza:

a * (b & c) = (a * b) & (a * c), ∀ a, b, c ∈ A.

***

Definizione (Operazione Binaria Interna): Diciamo che un’operazione binaria * è interna
su un insieme A o anche che l’insieme A è chiuso rispetto all’operazione *, o ancora che
l’insieme A è un gruppoide, se a ogni coppia di elementi di A, * associa sempre un ele-

mento di A. In simboli:

2
a * b = c ∈ A, ∀ (a, b) ∈ A . Si indica con il simbolo (A, *).

Nota: Gli insieme numerici classici (naturali, interi relativi, razionali, reali), sono grup-
poidi sia rispetto all’operazione di somma che a quella di prodotto.

- 367 -