Page 270 - Capire la matematica

Consideriamo un cerchio di raggio 1 con il cen-
tro in (0,0). Supponiamo di partire dal punto A
e di spostarci sulla circonferenza fino raggiun-
gere il punto P, corrispondente all’angolo θ.

Per un cerchio di raggio 1, l’ampiezza dell’an-
golo in radianti è per definizione la lunghezza
dell’arco AP.

Siccome la misura della lunghezza della circon-
ferenza è 2π, possiamo dire che 90° equival-
gono a π/2 radianti, e che 180° corrispondono
a π radianti.

Nota: se ruotiamo l’asse x di 90° ( radianti), possiamo dire che la funzione senθ fornisce
2

gli stessi valori di cosθ , con un ritardo di , cioè sin( + ) = e cos( + ) = -sin
2 2 2
1
Esercizio 1: Risolvere la disequazione sin(3x – 48°) > .
2
Usiamo la circonferenza goniometrica: in rosso indichiamo
le soluzioni, limitatamente all’intervallo [0°; 360°].

1
il seno è maggiore di se l’argomento appartiene a (30°;
2
150°). Perciò: 30° < 3x – 48° < 150°, o, tenuto conto della pe-
riodicità: 30° + k⋅360° < 3x –48° < 150° + k⋅360° ⇒ 78° + k

⋅360° < 3x < 198° + k ⋅ 360° ⇒ 26° + k ⋅ 120° < x < 66° + k ⋅
120°.

Se invece avessimo cercato soluzioni in [20°; 70°] avremmo 26° < x < 66°; per x ∈ [27°;

70°] avremmo 27° ≤ x < 66°; e se x ∈ [27°; 60°] la soluzione è 27° ≤ x ≤ 60°.

1±√1+12
2
Esercizio 2: Risolvere 3tan (x) – tan(x) – 1 > 0. Allora tan(x) = è la soluzione
6
dell’equazione di secondo grado in tangente, quindi la disequazione ha soluzioni:

1+√13 1−√13 1+√13
-1
tan(x) > o tan(x) < . Passando alle funzioni inverse avremo: x > tan ( ) ≅
6 6 6
1−√13
-1
0.65 oppure x < taan ( ) ≅ −0.41.
6
Rappresentando graficamente sulla circonferenza goniome-

trica, escludendo ovviamente ± , ovvero i valori per i quali la
2
tangente non esiste, troveremo le soluzioni (sempre rappresen-
tate in rosso).

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