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Equazioni di terzo grado

Si definisce equazione di terzo grado o cubica quell’equazione polinomiale a coefficienti

reali o complessi in cui il grado massimo dell’incognita è il terzo:

2
3
a3x + a2x + a1x + a0 = 0, con a3 ≠ 0
2
3
è consigliabile scriverla nella forma x + ax + bx +c = 0.
Se vogliamo usare i polinomi di Taylor

3
2
p(x) = x + ax + bx + c
calcolando le varie derivate e ponendo uguale a 0 la derivata seconda (6x + 2a = 0), si

ottiene x0 = − , per cui lo sviluppo in serie di Taylor della p(x) con origine x0 diviene
3
3
3
p(x) = (x – x0) + p(x – x0) + q. Ponendo x – x0 = y abbiamo: p(x) = y + py + q = 0.

3
2
Quindi ponendo x = y − , p(x) = x + ax + bx + c diviene
3
3 2
( − ) + ( − ) + ( − ) + = 0 →
3 3 3
3
y + py + q = 0 un’equazione di terzo grado con coefficiente del termine di secondo
grado nullo, dove

2 2 3
p = − + = − + .
3 27 3
3
L’equazione y + py + q = 0 è risolvibile ponendo: y = u + v →

3
(u + v) + p(u + v) + q =0
da cui, sviluppando e riordinando i termini, si ottiene:

3
3
(u + v ) + (u + v)(3uv + p) + q = 0
Ora ponendo una ulteriore condizione 3uv + p = 0 ci porta al sistema

3
3
3
3
+ = − + = −
{ → { abbiamo che il sistema è equivalente all’equazione
3
3 3
= − = −
3 27
di secondo grado:
3
2
z + qz - = 0
27
le cui soluzioni sono:

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