Page 170 - Capire la matematica

La dimostrazione della seconda uguaglianza è analoga. Si deve dimostrare che un ele-
mento appartiene al primo insieme per ciò stesso appartiene al secondo, e viceversa che
se appartiene al secondo per ciò stesso appartiene al primo insieme.

I Parte: Cominciamo con x∈ A ∪(B∩C); ciò significa che x appartiene ad uno (o a en-

trambi) gli insiemi che formano la riunione.

È possibile che x∈A∪(B∩C) perché x∈A → x∈A∪B e x∈A∪C, entrambi soprainsiemi di A:
dunque appartiene all’intersezione dei due: x∈(A∪B)∩(A∪C) come volevasi ottenere.

Se invece x∈A∪(B∩C) ma x∉A, necessariamente sarà x∈ B∩C, e dunque sia x∈B che x∈C.
Ne segue che x∈A∪B ed anche x∈A∪C, con la conclusione che x∈(A∪B)∩(A∪C).

Risulta così dimostrata la prima parte della equivalenza: se vale x ∈ A∪(B∩C) ⇒ x∈ (A∪B)
∩ (A∪C).

II Parte: Deve valere anche il viceversa, cioè se x∈(A∪B)∩(A∪C) ⇒ x∈A∪(B∩C). Sia dun-
que il generico elemento x∈(A∪B) ∩ (A∪C); per esso è possibile che x∈A o viceversa che
x∉A.

Se x∈A è evidente che avremo x∈A∪(B∩C) che è quanto volevasi dimostrare.

Se invece x∉A, pur appartenendo sia ad A∪B che ad A∪C ne deduciamo che deve essere
sia x∈B che x∈C; dunque x∈B∩C e per ciò stesso A∪(B∩C). Risulta così dimostrata anche

la seconda parte dell’equivalenza.

Ciò completa la dimostrazione dell’eguaglianza dei due insiemi che esprime la validità
della proprietà distributiva.

Soluzione b): Sia A ⊆B. Per definizione di sottoinsieme si ha che ∀a ∈ A →a ∈ B e quindi,

ancora per definizione, A ∪ B = {x∈ U | x∈ A oppure ∈ B} = {x∈ U | x∈ B } = B.

Viceversa sia A ∪ = . Per assurdo supponiamo che A ⊈ B. Allora∃ ∈ , ∉ e
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quindi A ∪ B ⊉ B che è contrario all’ipotesi .

5) a) Provare che ∁ ( ∩ ) = ∁() ∪ ∁() e che ∁ ( ∪ ) = ∁() ∩ ∁(), dove
∁ Complemento.

b) Verificare che, per ogni coppia di sottoinsiemi A,B ⊆ U , si ha: A ∩ = A ↔ A⊆ B.

Soluzione: Sia A ∩ = A: gli elementi comuni ad A e a B sono tutti e soli gli elementi di

A, quindi per definizione A⊆ B. Viceversa, sia A ⊆ B. Allora A ∩ = {x∈ | ∈ } = A.

15 Dal greco hypothesis che significa pongo sotto, cioè sottopongo a discussione in questo caso.
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